Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o tres puntos no alineados que se llaman vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana.[1]

Propiedades de los triángulos

  • En los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos los ángulos internos, es igual a 180°.
  • La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
  • Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El teorema de Pitágoras gráficamente.

  • Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

  • Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

El único caso en que estos tres centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Clasificación de los triángulos

Por la longitud de sus lados se clasifican en:

  • Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
  • Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se opone a estos lados tienen la misma medida.
  • Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Equilátero

Isósceles

Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos:

  • Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
  • Triángulo oblicuángulo: cuando no tiene un ángulo interior recto (90°).
    • Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
    • Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo

Obtusángulo

Acutángulo

Además, tienen estas denominaciones y características:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

  • Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
  • Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

  • Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.
  • Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

  • Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
  • Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo

equilátero

isósceles

escaleno

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Puntos notables de un triángulo

Circunferencia circunscrita a un triángulo

Se llama mediatriz de un segmento al lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus extremos.

Para dibujar la mediatriz, se trazan, con igual radio, dos arcos desde cada extremo. La recta que une los dos puntos en los que se cortan dichos arcos es la mediatriz del segmento.

Si dibujamos las mediatrices de los lados de un triangulo cualquiera, observamos que se cortan en un punto C, llamado circuncentro, que está a igual distancia de los tres vértices (¿por qué?). Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Circunferencia inscrita en un triángulo

Se llama bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus lados. La bisectriz divide al ángulo en dos mitades iguales.

Para dibujar la bisectriz de un ángulo cualquiera conocido, se trazan, con igual radio, dos arcos desde A y B. El punto donde se cortan, junto con el vértice O del ángulo nos determina la bisectriz.

Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto I que está a igual distancia de los tres lados (¿por qué?). Este punto se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas de un triángulo

Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a un lado y pasan por el vértice opuesto.

Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Medianas de un triángulo

Se llaman medianas a los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado baricentro.

El baricentro tiene la siguientes propiedades:

1.- Es el centro de gravedad del triángulo.

Ata una plomada a un alfiler y pincha el triángulo por cada una de sus esquinas. El hilo define tres rectas que son las medianas.

Si sostenemos desde el baricentro, el triángulo se mantendrá paralelo al suelo (en equilibrio).

2.- La distancia del baricentro a un lado es la mitad de su distancia al vértice opuesto.(En la figura anterior,

Recta de Euler

En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos en una misma recta, llamada recta de Euler.

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